ガンマ光臨 - Diavolo666’s diary

人間は下降階乗を夢想した

Eulerが最初に与えた式

$Euler(n)=n!=\displaystyle{\prod_{k=1}^{\infty} \frac{\left (1+\frac{1}{k} \right )^n}{1+\frac{n}{k}}}$

Gaussが与えた式

$Gauss(z)=\displaystyle{\lim_{m \to \infty}\frac{m^z m!}{z(z+1)\cdots (z+m)} }$

$Euler(z)= z Gauss(z)$

火星人が人類にe(exponent)を与えた

Eulerは火星人から啓示を受けた

$Euler(z)=\displaystyle{\int_0^{\infty} x^z e^{-x} dx}$

火星人は　β（Beta）の星から啓示を受けた

$B(x,y)=\displaystyle{\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt }$

$=\displaystyle{\int_0^{y-1} \left ( \frac{s}{y-1} \right )^{x-1}\left (1- \frac{s}{y-1} \right )^{y-1} \frac{ds}{y-1} }$

βには相互関係式があった

$B(x,y)=\displaystyle\frac{y-1}{x}B(x+1,y-1)$

究極機械　γ（Gamma）が超越存在者によって産み出されていた

ガンマ星からの光によって人類に示された事実

$B(x,y)=\displaystyle\frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

βはγによって産み出されていたのである

いまここに示そう

$B(x,y)=\displaystyle\frac{(y-1)(y-2)\cdots1}{x(x+1)\cdots(x+y-2)(x+y-1)}$

$=\displaystyle\frac{(y-1)!(x-1)!}{(x+y-1)!}=\displaystyle\frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

そして

$\displaystyle{\lim_{y \to \infty}y^x B(x,y)=\lim_{y \to \infty}y^x \int_0^{y-1} \left ( \frac{s}{y-1} \right )^{x-1}\left (1- \frac{s}{y-1} \right )^{y-1} \frac{ds}{y-1}}$ $=\displaystyle\lim_{y \to \infty} \left ( \frac{y}{y-1} \right )^x \int_0^{y-1} s^{x-1}\left (1- \frac{s}{y-1} \right )^{y-1} ds=\int_0^{\infty} s^{x-1}e^{-s}ds$